Potencia de un punto respecto de una circunferencia

 

Concepto de potencia

A la hora de determinar la distancia entre un punto y una circunferencia, buscamos una medida de distancia que tenga en cuenta lo grande que es la circunferencia.

En geometría, la "potencia de un punto respecto de una circunferencia" relaciona las longitudes de dos segmentos que pasan por un punto y cortan a la circunferencia, obteniendo un valor Wₚ (también denominado k²) constante.

Podemos decir que es el producto de la menor por la mayor distancia de un punto a una circunferencia.

Wₚ =  PA x PA' =dmin x dmax

Estas distancias se pueden definir en función de la distancia de P al centro de la circunferencia y el radio de esta. 

dmin = d-R  

dmax = d+R

Si operamos, vemos que se cumple lo siguiente:

Wₚ =  PA x PA' =dmin x dmax =(d-R) x (d+R);

Wₚ = d²-R² ; 

O también:

 

k²= d²-R²

Seguramente esta expresión os recuerda a algo que ya conocéis y utilizáis a menudo. Y es que tenemos aquí un Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

Según el Teorema de Pitágoras, sabemos que el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los catetos al cuadrado.

h²= c₁²+c₂² 

Lo que, aplicando nuestro dibujo, quedaría como:

k²= d²-R² 

¡Vaya! Parece que llegamos al mismo resultado.

Pero esto no sucede únicamente en el caso de que el la recta por P pase por el centro de la circunferencia, si no que se puede demostrar para cualquier recta secante.

¿Cómo demostramos esto?

Teorema de Tales

Para generalizar este concepto, podemos trazar una recta secante cualquiera que corte en los puntos A y B. De esta manera, estamos generando dos triángulos que comparten ángulo en el vértice P y cuyos ángulos en A' y B' son iguales. Podemos decir que estos triángulos son semejantes.