Inversión

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Fundamentos

Si estáis aquí, es posible que os preguntéis qué es una inversión geométrica.

Llamamos inversión a una transformación geométrica en la que a una figura le corresponde otra.

Podemos identificar los siguientes elementos:

  •  Centro de Inversión

Un punto (A) y su inverso (A’) estarán alineados con un punto fijo, que conocemos como centro de inversión (I).

  • Potencia de Inversión

Llamamos potencia de inversión al producto de la distancia de un punto al centro de inversión por la distancia de su inverso al centro de inversión. Este producto es una constante (k).

Se cumple entonces que: IA·IA’ = IB·IB’ = k

Si la potencia es positiva k>0, el centro de inversión se situará a un lado de los puntos inversos.



Si la potencia es negativa k<0, el centro de inversión estará situado entre los puntos inversos.










 


  • Circunferencia de puntos dobles


La circunferencia de puntos dobles o de autoinversión es el lugar geométrico de los puntos que son inversos de sí mismos. Estos puntos están a una distancia del centro de inversión igual a la raíz cuadrada de la potencia de inversión k.


Para hallar la CPD:

  • Circunferencia auxiliar que pasa por el punto y su inverso. 
  • Tangente a la circunferencia desde el centro de inversión.
  • La CPD tendrá su centro en el centro de inversión y radio IT.







Características de la inversión


  1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman una circunferencia.

  2. Antiparalelas: dados dos puntos A y B y sus inversos A’ y B’, las rectas AA’ y BB’ son antiparalelas de las rectas AB y A’B’.




  1. Si k>0, la inversión es positiva y existen puntos dobles.

  2. Si k<0, la inversión es negativa y no existen puntos dobles.


Inversión de un punto

Veamos ahora cómo podemos invertir un punto. Para ello, tendremos en cuenta el tipo de inversión.

Inversión positiva k>0, lo resolveremos con el Teorema del cateto.

Inversión negativa k<0, lo resolveremos mediante el Teorema de la altura.



Inversión de rectas y circunferencias

Existen cinco situaciones que nos podemos encontrar a la hora de hacer una inversión.

  1. Recta que pasa por el centro de inversión: es inversa de sí misma.
  2. Recta que no pasa por el centro de inversión: su inversa es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.
  3. Circunferencia que pasa por el centro de inversión: sucede a la inversa que con el caso anterior, su inversa es una recta que no pasa por el centro de inversión.
  4. Circunferencia que no pasa por el centro de inversión: se convierte en otra circunferencia homotética que tampoco pasa por el centro de inversión.
  5. Circunferencia que pasa por un par de puntos inversos: es inversa de sí misma.

Aplicación en resolución de problemas

Ahora que sabemos qué es la inversión, conocemos sus propiedades y cómo se calcula la inversión de un punto, tenemos las herramientas para enfrentarnos a problemas más complejos. La inversión nos servirá para simplificar construcciones y resolver problemas de tangencias, intersecciones y geometría en el plano.




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